Міністерство освіти та науки України Національний університет “Львівська політехніка» Інститут прикладної математики та фундаментальних наук Кафедра прикладної математики Курсова робота на тему: «Варіаційні задачі в параметричній формі» з курсу «Методи оптимізації»  В даній курсовій роботі розглянуто варіаційні задачі в параметричній формі, наведені основні означення та приклади. Зміст Вступ……………………………………………………………………..……………...4 Основні поняття варіаційного числення…………………………….…………...5 Варіаційні задачі в параметричній формі……………………………..………...6 Рівняння Ейлера для знаходження екстремумів………………………..……...9 Додаток………………………………………………………………………………..10 Висновок……………………………………………………………………….…..…..13 Використана література………………………………………………….………14 Вступ Варіаційне числення — це розділ функціонального аналізу, який займається диференціюванням функціоналів. Саме це числення почалося із задачі про брахістрохрону – криву лінію, рухаючись по якій без тертя матеріальна точка під дією сили тяжіння найшвидше досягне фіксованої фінішної точки. Основна задача варіаційного числення полягає у розробці методів вирішення задач на екстремум процесів, що описуються функціями з нескінченним числом змінних. Отже, варіаційне числення є частиною вищої математики, де розглядаються умови екстремуму функціонала. Основні поняття варіаційного числення Варіаційне числення встановлює умови, при яких функціонали досягають свого екстремуму. Однією з перших задач варіаційного числення була задача Бернуллі про брахістохрону (1696 р.). У вертикальній площині дані дві точки, О і B (рис. 1). По якій лінії скотиться важка матеріальна точка, залишаючись у цій площині, з верхньої точки в нижню за найменший проміжок часу? Опором руху нехтуємо. рис 1. Задача зводиться до пошуку мінімуму функціонала
. Перший розв`язок цієї задачі належав Якову Бернуллі, другий – Лопіталю, третій – Ньютону. Назва «варіаційне» числення походить від методу варіацій, за допомогою якого розв`язуються екстремальні задачі. Варіаційні задачі в параметричній формі В багатьох варіаційних задачах розв`язок зручніше шукати в параметричному вигляді. Наприклад, в ізопериметричній задачі про знаходження замкненої кривої даної довжини l, яка обмежує максимальну площину S, незручно шукати розв`язок у вигляді
, оскільки по самому сенсу задачі функція
неоднозначна (рис. 2), тому в розглянутій задачі потрібно шукати розв’язок в параметричній формі:
,
. Отже, в даному випадку потрібно шукати екстремум функціонала
за умови
, де l – постійна. Нехай при дослідженні на екстремум деякого функціонала
виявилося більш цілеспрямованим шукати розв’язок в параметричній формі
; тоді функціонал набуває вигляду:
. Відмітимо, що підінтегральна функція
, отримана після перебудови змінних, не містить t явно і є по відношенню до змінних
і
однорідною функцією першого степеня однорідності. Таким чином, функціонал
є не довільним функціоналом вигляду
, який залежить від двох функцій
і
, а лише досить окремим випадком такого функціонала, оскільки його підінтегральна функція не містить явно t і однорідна першого степеня однорідності по відношенню до змінних
і
. Якщо би ми перейшли до якого-небудь іншого параметричного представлення шуканої кривої
, то функціонал
набув би вигляду
. Отже, підінтегральна функція функціонала v не змінює свого вигляду при зміні параметричного представлення кривої. Таким чином, функціонал v залежить від вигляду кривої, а не від її параметричного представлення. Неважко впевнитись в справедливості наступного твердження: якщо підінтегральна функція функціонала
не містить t явно і є однорідною функцією першого степеня однорідності відносно
і
, то функціонал
залежить тільки від вигляду кривої
, а не від її параметричного представлення. Дійсно, нехай
, де
. Перейдемо до нового параметрчного представлення вважаючи

,
. Тоді
. Через те, що Ф є однорідною функцією першого степеня однорідності відносно
і
, будемо мати
звідки ...