Варіаційні задачі в параметричній формі

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Інститут прикладної математики та фундаментальних наук
Факультет:
ЗІ
Кафедра:
Кафедра прикладної математики

Інформація про роботу

Рік:
2024
Тип роботи:
Курсова робота
Предмет:
Методи оптимізації та дослідження операцій

Частина тексту файла

Міністерство освіти та науки України Національний університет “Львівська політехніка» Інститут прикладної математики та фундаментальних наук Кафедра прикладної математики Курсова робота на тему: «Варіаційні задачі в параметричній формі» з курсу «Методи оптимізації» В даній курсовій роботі розглянуто варіаційні задачі в параметричній формі, наведені основні означення та приклади. Зміст Вступ……………………………………………………………………..……………...4 Основні поняття варіаційного числення…………………………….…………...5 Варіаційні задачі в параметричній формі……………………………..………...6 Рівняння Ейлера для знаходження екстремумів………………………..……...9 Додаток………………………………………………………………………………..10 Висновок……………………………………………………………………….…..…..13 Використана література………………………………………………….………14 Вступ Варіаційне числення — це розділ функціонального аналізу, який займається диференціюванням функціоналів. Саме це числення почалося із задачі про брахістрохрону – криву лінію, рухаючись по якій без тертя матеріальна точка під дією сили тяжіння найшвидше досягне фіксованої фінішної точки. Основна задача варіаційного числення полягає у розробці методів вирішення задач на екстремум процесів, що описуються функціями з нескінченним числом змінних. Отже, варіаційне числення є частиною вищої математики, де розглядаються умови екстремуму функціонала. Основні поняття варіаційного числення Варіаційне числення встановлює умови, при яких функціонали досягають свого екстремуму. Однією з перших задач варіаційного числення була задача Бернуллі про брахістохрону (1696 р.). У вертикальній площині дані дві точки, О і B (рис. 1). По якій лінії скотиться важка матеріальна точка, залишаючись у цій площині, з верхньої точки в нижню за найменший проміжок часу? Опором руху нехтуємо. рис 1. Задача зводиться до пошуку мінімуму функціонала . Перший розв`язок цієї задачі належав Якову Бернуллі, другий – Лопіталю, третій – Ньютону. Назва «варіаційне» числення походить від методу варіацій, за допомогою якого розв`язуються екстремальні задачі. Варіаційні задачі в параметричній формі В багатьох варіаційних задачах розв`язок зручніше шукати в параметричному вигляді. Наприклад, в ізопериметричній задачі про знаходження замкненої кривої даної довжини l, яка обмежує максимальну площину S, незручно шукати розв`язок у вигляді , оскільки по самому сенсу задачі функція  неоднозначна (рис. 2), тому в розглянутій задачі потрібно шукати розв’язок в параметричній формі: , . Отже, в даному випадку потрібно шукати екстремум функціонала  за умови , де l – постійна. Нехай при дослідженні на екстремум деякого функціонала  виявилося більш цілеспрямованим шукати розв’язок в параметричній формі ; тоді функціонал набуває вигляду: . Відмітимо, що підінтегральна функція , отримана після перебудови змінних, не містить t явно і є по відношенню до змінних  і  однорідною функцією першого степеня однорідності. Таким чином, функціонал  є не довільним функціоналом вигляду , який залежить від двох функцій  і , а лише досить окремим випадком такого функціонала, оскільки його підінтегральна функція не містить явно t і однорідна першого степеня однорідності по відношенню до змінних  і . Якщо би ми перейшли до якого-небудь іншого параметричного представлення шуканої кривої , то функціонал  набув би вигляду . Отже, підінтегральна функція функціонала v не змінює свого вигляду при зміні параметричного представлення кривої. Таким чином, функціонал v залежить від вигляду кривої, а не від її параметричного представлення. Неважко впевнитись в справедливості наступного твердження: якщо підінтегральна функція функціонала  не містить t явно і є однорідною функцією першого степеня однорідності відносно  і , то функціонал  залежить тільки від вигляду кривої , а не від її параметричного представлення. Дійсно, нехай , де . Перейдемо до нового параметрчного представлення вважаючи  , . Тоді . Через те, що Ф є однорідною функцією першого степеня однорідності відносно  і , будемо мати  звідки ...
Антиботан аватар за замовчуванням

17.05.2014 10:05

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, увійдіть або зареєструйтесь.

Завантаження файлу

Якщо Ви маєте на своєму комп'ютері файли, пов'язані з навчанням( розрахункові, лабораторні, практичні, контрольні роботи та інше...), і Вам не шкода ними поділитись - то скористайтесь формою для завантаження файлу, попередньо заархівувавши все в архів .rar або .zip розміром до 100мб, і до нього невдовзі отримають доступ студенти всієї України! Ви отримаєте грошову винагороду в кінці місяця, якщо станете одним з трьох переможців!
Стань активним учасником руху antibotan!
Поділись актуальною інформацією,
і отримай привілеї у користуванні архівом! Детальніше

Оголошення від адміністратора

Антиботан аватар за замовчуванням

пропонує роботу

Admin

26.02.2019 12:38

Привіт усім учасникам нашого порталу! Хороші новини - з‘явилась можливість кожному заробити на своїх знаннях та вміннях. Тепер Ви можете продавати свої роботи на сайті заробляючи кошти, рейтинг і довіру користувачів. Потрібно завантажити роботу, вказати ціну і додати один інформативний скріншот з деякими частинами виконаних завдань. Навіть одна якісна і всім необхідна робота може продатися сотні разів. «Головою заробляти» продуктивніше ніж руками! :-)

Новини