Міністерство освіти та науки України
Національний університет “Львівська політехніка»
Інститут прикладної математики та фундаментальних наук
Кафедра прикладної математики
Курсова робота
на тему:
«Варіаційні задачі в параметричній формі»
з курсу «Методи оптимізації»
В даній курсовій роботі розглянуто варіаційні задачі в параметричній формі, наведені основні означення та приклади.
Зміст
Вступ……………………………………………………………………..……………...4
Основні поняття варіаційного числення…………………………….…………...5
Варіаційні задачі в параметричній формі……………………………..………...6
Рівняння Ейлера для знаходження екстремумів………………………..……...9
Додаток………………………………………………………………………………..10
Висновок……………………………………………………………………….…..…..13
Використана література………………………………………………….………14
Вступ
Варіаційне числення — це розділ функціонального аналізу, який займається диференціюванням функціоналів. Саме це числення почалося із задачі про брахістрохрону – криву лінію, рухаючись по якій без тертя матеріальна точка під дією сили тяжіння найшвидше досягне фіксованої фінішної точки. Основна задача варіаційного числення полягає у розробці методів вирішення задач на екстремум процесів, що описуються функціями з нескінченним числом змінних.
Отже, варіаційне числення є частиною вищої математики, де розглядаються умови екстремуму функціонала.
Основні поняття варіаційного числення
Варіаційне числення встановлює умови, при яких функціонали досягають свого екстремуму. Однією з перших задач варіаційного числення була задача Бернуллі про брахістохрону (1696 р.).
У вертикальній площині дані дві точки, О і B (рис. 1). По якій лінії скотиться важка матеріальна точка, залишаючись у цій площині, з верхньої точки в нижню за найменший проміжок часу? Опором руху нехтуємо. рис 1.
Задача зводиться до пошуку мінімуму функціонала
.
Перший розв`язок цієї задачі належав Якову Бернуллі, другий – Лопіталю, третій – Ньютону.
Назва «варіаційне» числення походить від методу варіацій, за допомогою якого розв`язуються екстремальні задачі.
Варіаційні задачі в параметричній формі
В багатьох варіаційних задачах розв`язок зручніше шукати в параметричному вигляді. Наприклад, в ізопериметричній задачі про знаходження замкненої кривої даної довжини l, яка обмежує максимальну площину S, незручно шукати розв`язок у вигляді , оскільки по самому сенсу задачі функція неоднозначна (рис. 2), тому в розглянутій задачі потрібно шукати розв’язок в параметричній формі: , . Отже, в даному випадку потрібно шукати екстремум функціонала
за умови , де l – постійна.
Нехай при дослідженні на екстремум деякого функціонала
виявилося більш цілеспрямованим шукати розв’язок в параметричній формі ; тоді функціонал набуває вигляду:
.
Відмітимо, що підінтегральна функція
,
отримана після перебудови змінних, не містить t явно і є по відношенню до змінних і однорідною функцією першого степеня однорідності.
Таким чином, функціонал є не довільним функціоналом вигляду
,
який залежить від двох функцій і , а лише досить окремим випадком такого функціонала, оскільки його підінтегральна функція не містить явно t і однорідна першого степеня однорідності по відношенню до змінних і .
Якщо би ми перейшли до якого-небудь іншого параметричного представлення шуканої кривої , то функціонал набув би вигляду . Отже, підінтегральна функція функціонала v не змінює свого вигляду при зміні параметричного представлення кривої. Таким чином, функціонал v залежить від вигляду кривої, а не від її параметричного представлення.
Неважко впевнитись в справедливості наступного твердження: якщо підінтегральна функція функціонала
не містить t явно і є однорідною функцією першого степеня однорідності відносно і , то функціонал залежить тільки від вигляду кривої , а не від її параметричного представлення. Дійсно, нехай
,
де
.
Перейдемо до нового параметрчного представлення вважаючи
, .
Тоді
.
Через те, що Ф є однорідною функцією першого степеня однорідності відносно і , будемо мати
звідки
...